5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.   f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo. La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos. Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.

Ejemplo Sea f(x) = x2- 2x,   con dominio [0, 4]. Aquí es su gráfica. Mirando la gráfica, se observa que f tiene: Un máximo relativo a (0, 0); Un mínimo relativo a (1, - 1); Un máximo relativo a (4, 8). Inicio de página

Extremos absolutosExtremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición: f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f. La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos. Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.

Ejemplo Sea otra vez f(x) = x2- 2x,   con dominio [0, 4]. Mirando a sus extremos relativos, observamos que: El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto; El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto; El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto. Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).