sábado, 23 de mayo de 2015
4.3 Diferenciacíon implícita.
4.3 Diferenciación implícita.
Introducción.
Las gráficas de las diversas ecuaciones que se estudian en matemáticas no son las graficas de funciones por ejemplo la ecuación.
X2 + y2 = 4
FUNCIONES IMPLÍCITAS Y EXPLICITAS.
Se dice que una función donde la variable depende se expresa solo en términos de la variable independiente x, a saber, y = f(x), es una función explicita por ejemplo y = ½ x3 -1 es una función explicita. Por otra parte se dice que una función implícita de x acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente la función o que es una función implícita de x. acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente las dos funciones f(x) = 4 – x2 y g(x) = – 4 – x2
EJEMPLO DE LA DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.
Encuentre dy/ dx si x2 + y2 = 4
Solución. Se diferencian ambos miembro de la ecuación y luego se usa (6):
dx2 + d y2 = d 4
dx dx dx
2x + 2y dy = 0
Dx
Al despejar la derivada obtenemos.
Dy = -x
Dx y4.2 Derivadas de funciones exponenciales.
4.2 Derivadas de funciones exponenciales.
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,
Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
- La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
- La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
- La función es solución de la ecuación diferencial
.
Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:
donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto 
.
.Unidad 4.Tópicos complementarios de diferenciación.
OBJETIVO ESPECIFICO
El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.
4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.
4.2 Derivadas de funciones exponenciales.
4.3 Diferenciación implícita.
4.4 Diferenciación logarítmica.
4.5 Derivadas de orden superior.
4.6 Diferenciales.
4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.
4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.
El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.
4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.
4.2 Derivadas de funciones exponenciales.
4.3 Diferenciación implícita.
4.4 Diferenciación logarítmica.
4.5 Derivadas de orden superior.
4.6 Diferenciales.
4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.
4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.
Resumen de la unidad 3
Resumen de la unidad 3
En esta unidad vimos mas lo que son las derivadas, la derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas. la derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
En esta unidad vimos mas lo que son las derivadas, la derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas. la derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.
3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso
marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro.
Costo marginal:
Utilidad marginal:
Costo marginal:
El costo marginal y se define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una unidad más del producto. Es decir, nos dice cuánto esta variando el costo total cuando la empresa varía su nivel de producción, para ello también debemos conocer cuánto nos cuesta la producción de la última unidad. La cifra muestra el aumento del coste total cuando se produce una unidad adicional.
Su interpretación es similar a la del concepto anterior, considerando únicamente el cambio en la cantidad de unidades, de físicas (productos) a monetarias. Don Valentín realiza las siguientes consideraciones:
- Se determina que cada participantes de zapatos se vende a $ 30
- Los costos variables por cada par son de $ 16.05 por unidad, resultado obtenido del cociente entre los costos variables totales y el número de unidades producidas en el período de un año; esto es:
- Según se indicó en su momento, independientemente del volumen de unidades producidas, para la operación de la empresa los costos fijos se mantienen en un nivel constante durante el periodo considerado.
Costo Marginal = $ 30 - $ 16.05 = $ 13.95 por unidad
Ingreso marginal:
Variación del ingreso total al incrementarse la producción (más específicamente, al incrementarse en una unidad).
IMg = IT / Q
A partir de la ecuación de la función de demanda (lineal, en nuestro ejemplo) se puede derivar la función de ingreso marginal:
P = a - b. Q
Dado que el ingreso total es P.Q (Precio por la cantidad vendida); multiplicando por Q
P.Q = a.Q – b.Q2
IT = a.Q – b.Q2
Derivamos para obtener el ingreso marginal:
d(P.Q)/dQ =a – 2b. Q
Dado que d(P.Q)/dQ es el ingreso marginal, resulta:
IMg = a – 2b. Q
Lo que implica que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente (2b) que la función de demanda (lineal).
En relación con la función de demanda, el ingreso marginal puede representarse gráficamente de la siguiente manera:
A partir de la ecuación de la función de demanda (lineal, en nuestro ejemplo) se puede derivar la función de ingreso marginal:
P = a - b. Q
Dado que el ingreso total es P.Q (Precio por la cantidad vendida); multiplicando por Q
P.Q = a.Q – b.Q2
IT = a.Q – b.Q2
Derivamos para obtener el ingreso marginal:
d(P.Q)/dQ =a – 2b. Q
Dado que d(P.Q)/dQ es el ingreso marginal, resulta:
IMg = a – 2b. Q
Lo que implica que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente (2b) que la función de demanda (lineal).
En relación con la función de demanda, el ingreso marginal puede representarse gráficamente de la siguiente manera:
Utilidad marginal:
La utilidad, en microeconomía, es una medida de la satisfacción de una persona al consumir un bien o servicio. La utilidad de una persona aumenta cuando el bienestar de esa persona aumenta, y disminuye cuando su bienestar disminuye.
Si bien la utilidad es un concepto subjetivo que no se puede medir, es posible simularla utilizando funciones de utilidad, que relacionan la "cantidad" de utilidad con la cantidad consumida de ciertos bienes o servicios. Esta medida de utilidad se denomina utilidad "cardinal".
\[ U(x) = f(x) \]
La utilidad marginal se define, en términos discretos, como la utilidad que brinda el consumo de un bien adicional. En términos continuos, se define como la derivada parcial de la función de utilidad con respecto a la cantidad consumida de un bien.
\[ UMg(x) = \frac {dU(x)}{dx} \]
La utilidad marginal de la función de utilidad graficada anteriormente, se describe en el siguiente gráfico (La utilidad marginal en linea roja):
Propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro
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