3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

derivada de una constante:

La derivada de una constante es cero.

Ejemplo

derivada de una constante por una función:

derivada de suma o resta de funciones:

3.4 Diferenciabilidad y continuidad

3.4 Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad 
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

=

lim h0

f(a+h) - f(a) h

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

Nota

Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si

lim h0

f(a+h) - f(a) h

no existe, o es infinito.

En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.

3.3 La derivada como razón de cambio

3.3 La derivada como razón de cambio

3.2 Diferenciación de funciones por incrementos

3.2 Diferenciación de funciones por incrementos

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una 
función correspondiente al incremento h de la variable
 independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada
de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

Aplicamos la definición de logaritmo:

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del
cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se
comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm,
cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de
una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia
 milésimas de centímetro.

Si el lugar de  se halla . ¿Cuáles son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?

Unidad 3. Derivada de una funcion.

OBJETIVO ESPECIFICO
El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.


Unidad III. Derivada de una función.
3.1 Definición de la derivada.
3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.
3.3 La derivada como razón de cambio.
3.4 Diferenciabilidad y continuidad.
3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.
3.6 La regla de la cadena y de la potencia.
3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.



3.1 Definición de la derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

Resumen de unidad 2

Resumen de unidad 2

En esta unidad 2 comenzamos viendo los limites ya que los limites matematicamente son una magnitud fija a la que se aproxima cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
En los limites laterales para que exista el limite de la funcion deben existir los limites laterales y coincidir.
Cuando x tiende a 'a' negativo, significa que 'x' tiende a tomar valores menores que 'a' y estos valores se encuentran a su izquierda.
Cuando x tiende a 'a' positivo, significa que 'x' tiende a tomar valores mayores que 'a' y estos valores se encuentran a su lado derecho.

Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe  ƒ(x)→ – ∞.