5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.
Elasticidad de la demanda.
Se puede definir la elasticidad de la demanda como el grado en que la demanda de un bien o servicio varía con su precio. Normalmente, las ventas aumentan con la caída de los precios y disminuyen con el aumento de los precios. La elasticidad de la demanda de un producto o servicio depende en muchos casos de si este es de primera necesidad o no, así la mayoría de los artículos de primera necesidad (alimentos, medicinas, ropa básica) tienen son inelásticos ya que pese a que el precio varíe la demanda cambiará poco. Sin embargo en artículos de lujo, la demanda si es elástica variando mucho en función del precio.
La elasticidad de la demanda en microeconomía corresponde con la pendiente de la función de demanda dentro de la Teoría de la Oferta y la Demanda.
Factores que influyen en la elasticidad de la demanda de un producto o servicio
El factor principal en la determinación de la elasticidad de la demanda es la voluntad y capacidad de los consumidores de aplazar las decisiones inmediatas de consumo sobre un bien o servicio cuando este sube su precio o viceversa. Además otros factores que influyen son la disponibilidad de bienes sustitutivos, necesidad, duración, o la lealtad a una marca determinada.
Elasticidad del ingreso.
Se denomina Elasticidad ingreso de la demanda al cambio proporcional en la demanda de un bien en respuesta a un cambio en el nivel de ingresos de una persona. Esto se refleja en cómo la gente cambia sus hábitos de consumo con cambios en sus niveles de ingresos. En una economía en crecimiento (donde los niveles de ingresos están aumentando) los bienes cuya demanda es altamente dependiente de los ingresos van a vender más que los bienes cuya demanda no es dependiente de los ingresos.
Por ejemplo, la demanda de alimentos básicos normalmente no aumenta con los niveles de ingresos más altos, pero la demanda de alimentos gourmet o restaurante de calidad aumenta a medida que crece la renta de las personas. Incluso restaurantes como McDonalds aumentan sus ventas cuando los ingresos de la población disminuyen.
También se llama sensibilidad ingreso de la demanda, y se expresa matemáticamente como porcentaje dividiendo a variación en la cantidad demandada entre ÷ la variación en el nivel de ingresos.
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones
de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos
Maximización de funciones de ingreso:
Utilidad y beneficios
Utilidad y beneficios
El beneficio económico (también denominado utilidades) es un término utilizado para designar la ganancia que se obtiene de un proceso o actividad económica. Es más bien impreciso, dado que incluye el resultado positivo de esas actividades medido tanto en forma material o "real" como monetaria o nominal. (Ver más abajo). Consecuentemente, algunos diferencian entre beneficios y ganancia.
Desde un punto de vista general el beneficio económico es un indicador de la creación de riqueza o generación de mercaderías o valor en la economía de una nación. Eso no es siempre el caso para los individuos (ver más abajo).
El beneficio generalmente se calcula como los ingresos totales menos los costes totales de producción y distribución.
Minimización de funciones de costos y costos
La Minimización de Costos
• Nuestro objetivo es estudiar el comportamiento de las empresas maximizadora del beneficio en los
mercados competitivos y en los no competitivos
• Primero estudiaremos la minimización de los
costos dado un nivel de producción y luego
estudiaremos cual solución que conduce a la opción
mas rentable es decir se desarrollara una teoría
de maximización de beneficios.
• En esta sección se estudiara los elementos del
costo a corto y largo plazo y la decisión de
minimización de costos para un nivel dado de
producción y unos precios dados, sobre los cuales
las firmas no pueden influir.
Distinción
• Pueden distinguirse, al menos, tres
conceptos diferentes de costos.
– El costo de oportunidad.
– El costo contable (los costes históricos, la
depreciación y otras partidas.)
– El costo de transacción (los costos de organizar
las transacciones).
Los Costos
• Def. El costo económico de un factor cualquiera
es lo que hay que pagarle para mantenerlo en su
empleo actual, es decir, el costo económico de un
factor es la remuneración que recibiría en su
mejor empleo alternativo.
• Supuestos: supondremos que las firmas son
tomadoras de precios y supondremos el mínimo
numero de factores homogéneos, los costo
empresariales son parte de los costo de capital y
los factores se contratan en mercados
competitivos.
Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.
Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.
Extremos absolutosExtremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.
Ejemplo
Sea otra vez
f(x) = x2- 2x, con dominio [0, 4].
Mirando a sus extremos relativos, observamos que:
El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).
El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de
optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las
disciplinas económico-administrativas.
5.1 Función creciente y decreciente.
5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.
5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.
5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones
de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos
promedio.
5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.
5.1 Función creciente y decreciente.
· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1£x2, se verifica que
f( x1 ) < f( x2 ).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1£x2, entonces f(x1)³f(x2).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.
FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO
· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
f(x) £f(a) si x pertenece a (a - e, a) y
f(x) ³f(a) si x pertenece a (a,a + e).
·Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que
f(x) ³f(a) si x pertenece a (a - e, a) y
f(x) £f(a) si x pertenece a (a,a + e).
La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.
Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.
4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso
marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro.
Costo marginal:
El costo marginal y se define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una unidad más del producto. Es decir, nos dice cuánto esta variando el costo total cuando la empresa varía su nivel de producción, para ello también debemos conocer cuánto nos cuesta la producción de la última unidad. La cifra muestra el aumento del coste total cuando se produce una unidad adicional.
Su interpretación es similar a la del concepto anterior, considerando únicamente el cambio en la cantidad de unidades, de físicas (productos) a monetarias. Don Valentín realiza las siguientes consideraciones:
Se determina que cada participantes de zapatos se vende a $ 30
Los costos variables por cada par son de $ 16.05 por unidad, resultado obtenido del cociente entre los costos variables totales y el número de unidades producidas en el período de un año; esto es:
Según se indicó en su momento, independientemente del volumen de unidades producidas, para la operación de la empresa los costos fijos se mantienen en un nivel constante durante el periodo considerado.
Variación del ingreso total al incrementarse la producción (más específicamente, al incrementarse en una unidad).
IMg = IT / Q
A partir de la ecuación de la función de demanda (lineal, en nuestro ejemplo) se puede derivar la función de ingreso marginal: P = a - b. Q
Dado que el ingreso total es P.Q (Precio por la cantidad vendida); multiplicando por Q
P.Q = a.Q – b.Q2
IT = a.Q – b.Q2
Derivamos para obtener el ingreso marginal:
d(P.Q)/dQ =a – 2b. Q
Dado que d(P.Q)/dQ es el ingreso marginal, resulta:
IMg = a – 2b. Q
Lo que implica que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente (2b) que la función de demanda (lineal).
En relación con la función de demanda, el ingreso marginal puede representarse gráficamente de la siguiente manera:
Utilidad marginal:
La utilidad, en microeconomía, es una medida de la satisfacción de una persona al consumir un bien o servicio. La utilidad de una persona aumenta cuando el bienestar de esa persona aumenta, y disminuye cuando su bienestar disminuye.
Si bien la utilidad es un concepto subjetivo que no se puede medir, es posible simularla utilizando funciones de utilidad, que relacionan la "cantidad" de utilidad con la cantidad consumida de ciertos bienes o servicios. Esta medida de utilidad se denomina utilidad "cardinal".
\[ U(x) = f(x) \]
La utilidad marginal se define, en términos discretos, como la utilidad que brinda el consumo de un bien adicional. En términos continuos, se define como la derivada parcial de la función de utilidad con respecto a la cantidad consumida de un bien.
\[ UMg(x) = \frac {dU(x)}{dx} \]
La utilidad marginal de la función de utilidad graficada anteriormente, se describe en el siguiente gráfico (La utilidad marginal en linea roja):
Propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.
Ejemplos
1.
2.
3. Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado.
Las gráficas de las diversas ecuaciones que se estudian en matemáticas no son las graficas de funciones por ejemplo la ecuación.
X2 + y2 = 4
FUNCIONES IMPLÍCITAS Y EXPLICITAS.
Se dice que una función donde la variable depende se expresa solo en términos de la variable independiente x, a saber, y = f(x), es una función explicita por ejemplo y = ½ x3 -1 es una función explicita. Por otra parte se dice que una función implícita de x acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente la función o que es una función implícita de x. acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente las dos funciones f(x) = 4 – x2 y g(x) = – 4 – x2
EJEMPLO DE LA DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.
Encuentre dy/ dx si x2 + y2 = 4
Solución. Se diferencian ambos miembro de la ecuación y luego se usa (6):
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,
Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus
aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales,
funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el
concepto de diferencial y sus aplicaciones.
4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.
4.2 Derivadas de funciones exponenciales.
4.3 Diferenciación implícita.
4.4 Diferenciación logarítmica.
4.5 Derivadas de orden superior.
4.6 Diferenciales.
4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso
marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro.
En esta unidad vimos mas lo que son las derivadas, la derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas. la derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso
marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro.
Costo marginal:
El costo marginal y se define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una unidad más del producto. Es decir, nos dice cuánto esta variando el costo total cuando la empresa varía su nivel de producción, para ello también debemos conocer cuánto nos cuesta la producción de la última unidad. La cifra muestra el aumento del coste total cuando se produce una unidad adicional.
Su interpretación es similar a la del concepto anterior, considerando únicamente el cambio en la cantidad de unidades, de físicas (productos) a monetarias. Don Valentín realiza las siguientes consideraciones:
Se determina que cada participantes de zapatos se vende a $ 30
Los costos variables por cada par son de $ 16.05 por unidad, resultado obtenido del cociente entre los costos variables totales y el número de unidades producidas en el período de un año; esto es:
Según se indicó en su momento, independientemente del volumen de unidades producidas, para la operación de la empresa los costos fijos se mantienen en un nivel constante durante el periodo considerado.
Variación del ingreso total al incrementarse la producción (más específicamente, al incrementarse en una unidad).
IMg = IT / Q
A partir de la ecuación de la función de demanda (lineal, en nuestro ejemplo) se puede derivar la función de ingreso marginal: P = a - b. Q
Dado que el ingreso total es P.Q (Precio por la cantidad vendida); multiplicando por Q
P.Q = a.Q – b.Q2
IT = a.Q – b.Q2
Derivamos para obtener el ingreso marginal:
d(P.Q)/dQ =a – 2b. Q
Dado que d(P.Q)/dQ es el ingreso marginal, resulta:
IMg = a – 2b. Q
Lo que implica que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente (2b) que la función de demanda (lineal).
En relación con la función de demanda, el ingreso marginal puede representarse gráficamente de la siguiente manera:
Utilidad marginal:
La utilidad, en microeconomía, es una medida de la satisfacción de una persona al consumir un bien o servicio. La utilidad de una persona aumenta cuando el bienestar de esa persona aumenta, y disminuye cuando su bienestar disminuye.
Si bien la utilidad es un concepto subjetivo que no se puede medir, es posible simularla utilizando funciones de utilidad, que relacionan la "cantidad" de utilidad con la cantidad consumida de ciertos bienes o servicios. Esta medida de utilidad se denomina utilidad "cardinal".
\[ U(x) = f(x) \]
La utilidad marginal se define, en términos discretos, como la utilidad que brinda el consumo de un bien adicional. En términos continuos, se define como la derivada parcial de la función de utilidad con respecto a la cantidad consumida de un bien.
\[ UMg(x) = \frac {dU(x)}{dx} \]
La utilidad marginal de la función de utilidad graficada anteriormente, se describe en el siguiente gráfico (La utilidad marginal en linea roja):
Propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro
Tema 4.6
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